Lý thuyết, công thức cấp số nhân cơ bản, đầy đủ

Cũng giống như cấp số cộng, cấp số nhân là 1 phần kiến thức quan trọng trong chương trình đại số và giải tích lớp 11. Ngoài ra, công thức cấp số nhân còn hay được áp dụng để tính toán lãi ngân hàng. Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các lý thuyêt cơ bản, kèm công thức tính cấp số nhân chi tiết, đầy đủ nhất.

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi. Nghĩa là:

(u_n) là cấp số nhân ⇔ ∀n ≥ 2, u_n = u_n-1.q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Ví dụ: dãy số 2, 4, 8, 16, 32, …., 2ⁿ là một cấp số nhân, với số hạng đầu tiên u₁ = 2 và công bội q= 2

Dãy số -2, 6, -18, 54, -162 là một cấp số nhân, với số hạng đầu tiên u₁ = -2 và công bội q= -3

Tính chất

Nếu (u_n) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối của cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng liền kề nó trong dãy. Nghĩa là:

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ và công bội q ≠ 0, thì số hạng tổng quát u_n  của nó được xác định bởi công thức:

u_n= u₁. q^n-1

Ví dụ: cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 4,  công sai q =3, tính u₇

Ta có:

u₇= u₁. q^7-1 =4.3^7-1 = 2916

Công thức tính tổng cấp số nhân

Tính tổng n số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân

Nếu (u_n) là một cấp số cộng với công bội q ≠ 1 thì n số hạng đầu tiên của nó (S_n) được tính bằng công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng 7 số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết u₁ = 3, và công sai q =4

Ta có:

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) có u₃ = 20 và u₄ = 40, tính tổng của 5 số hạng đầu tiên

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), ta có:

Theo công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

20=u₃= u₁. q^3-1= u₁. 2²

Từ đó suy ra:

u₁= 20/2²=5

Tổng của 5 số hạng đầu tiên:

Trên đây là những kiến thức cơ bản và công thức cấp số nhân mà bạn đang tìm kiếm. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì, hãy để lại bình luận bên dưới bài viết nhé!