Tìm cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng toán và bài tập có lời giải

Bài viết này, boxthuthuat sẽ hướng dẫn các bạn lý thuyết về cực trị của hàm số, cùng cách tìm cực trị cũng như các dạng bài tập về tìm giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số.

Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số  f  xác định trên tập hợp D (D ⊂ ℝ) và x_o∈ D

a) x_o được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x_o sao cho:

Khi đó  f(x_o) được gọi là giá trị cực đại của hàm số  f .

b) x_o được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x_o sao cho:

Khi đó  f(x_o) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  f .

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x_o là một điểm cực trị của hàm số f  thì người ta nói rằng hàm số f  đạt cực trị tại điểm x_o .

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ)

Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b) ⊂ D nghĩa là x_o là một điểm trong của D

Chú ý

• Giá trị cực đại (cực tiểu)  f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của  f  trên tập hợp D.
• Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tâp hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.
• x_o là một điểm cực trị của hàm số  f  thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số  f .

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm x_o thì f ‘(x_o) = 0

Chú ý: 

• Đạo hàm f ‘ có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f  không đạt cực trị tại điểm x_o.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số f  liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o và có đạo hàm trên các khoảng (a; x_o) và (x_o; b). Khi đó:

Định lý 3: Giả sử hàm số f  có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ;  f ‘(x_o) = 0 và f  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f  đạt cực đại tại điểm x_o
b) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f  đạt cực tiểu tại điểm x_o

Chú ý:

Không cần xét hàm số f  có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o

Bài tập tìm cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

• Tìm  f ‘(x)
• Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm
• Xét dấu của  f ‘(x). Nếu  f ‘(x) đổi dấu khi x qua điểm x_o  thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

• Tìm  f ‘(x)
• Tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0 
• Với mỗi x_i tính f ”(x_i)

– Nếu f ”(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i

– Nếu f ”(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Phương pháp: Sử dụng định lí 2 và định lí 3

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ x_o ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Tại đạo hàm của hàm số tại x_o phải triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm tại x_o
• f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm x_o hoặc f ”(x_o) ≠ 0

* Nếu f ‘(x) là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dấu với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị ⇔ phương trình f ‘(x) có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định.

Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

• Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị,
• Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được điều kiện của tham số.

Chú ý:

• Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét.
• Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Dạng 4 : Ứng dụng cực trị của hàm số trong bài toán đại số

Trên đây là chia sẻ về cực trị của hàm số, cùng những bài tập tìm giá trị cực tiểu, giá trị cực đại của hàm số. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn sẽ có thể dễ dàng giải quyết các bài tập dạng này.