Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn những lý thuyết quan trọng phần giới hạn của dãy số, kèm những công thức tính toán, những bài tập giới hạn dãy số có lời giải chi tiết, giúp bạn dễ dàng nắm vững phần kiến thức này!
Contents
Lý thuyết giới hạn của dãy số
Dãy số có giới hạn 0
Dãy số (un ) có giới hạn bằng 0, Kí hiệu: lim (un ) = 0 hay lim un = 0, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Hay: lim un = 0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Hoặc lim un = 0 ⇔ ∀ ε > 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho |un| >ε ∀ n > n0
Tính chất:
Định lý: Cho 2 dãy số un, vn:
Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Dãy số (un ) có giới hạn là số thực L, ký hiệu: lim (un ) = L nếu lim (un – L) = 0
lim (un ) = L ⇔ (un – L) = 0
Các định lý:
- Cho (un ) mà un = c, ∀n: lim un = c
- Dãy số (un ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
- Dãy số (vn ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số có giới hạn +∞
Dãy số có giới hạn (un ), ký hiệu lim un = + ∞, nếu với mọi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó
Hệ quả:
Dãy số có giới hạn – ∞
Dãy số có giới hạn (un ), ký hiệu lim un = – ∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó
Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Quy tắc nhân
- Quy tắc chia
Tham khảo thêm:
Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giải
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lý về giới hạn của dãy số
Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tại
Phương pháp giải: Sử dụng định lý
- Dãy số (un ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
- Dãy số (vn ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Trên đây là những chia sẻ về giới hạn của dãy số kèm những dạng bài tập, ví dụ có lời giải cho từng trường hơp. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn sẽ dễ dàng giải được các bài tập về giới hạn dãy số.
