Phương trình bậc 2 một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Đây là 1 phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở và được ứng dụng rất nhiều trong giải toán ở các bậc học cao hơn. Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các dạng toán phương trình bậc 2 thường gặp và cách giải chi tiết.
Contents
Cách giải bài tập phương trình bậc 2 cơ bản
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Định lý Vi-ét
Ứng dụng của định lý Vi-ét
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu đa thức ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = (x – x1)(x-x2)
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số có tổng bằng S và tích bằng P thì chúng là 2 nghiệm của phương trình x2 + Sx + P = 0
Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu phương trình có hai nghiệm thì trong các trường hợp trên ta thay ∆ > 0 thành ∆ ≥ 0 .
Các dạng bài tập về phương trình bậc 2
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 giả sử các hệ số a , b , c chứa tham số m .
• Nếu a = 0 : ta tính m rồi thế vào phương trình và giải phương trình bx + c = 0 .
• Nếu a ≠ 0 , tính ∆ = b2 – 4ac.
Biện luận số giao điểm của (P) và đường thẳng (d) hoặc (P′)
• Lập phương trình hoành độ giao điểm, đưa về dạng ax2 + bx + c = 0 (1) . Số giao điểm của (P) và (d ) (hoặc (P) ) là số nghiệm của phương trình (1) .
• Biện luận như trên và kết luận số giao điểm.
Bài tập tự luyện
Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (1), giả sử các hệ số a , b , c chứa tham số m.
Bài tập tự luyện: Xác định m để phương trình:
a) mx2 – 2(m+3)x + m+1 = 0 có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) (m2 – 5m – 36)x2 – 2(m+4)x +1 = 0 có nghiệm duy nhất.
c) (mx − 2)(2mx − x + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Dạng 3. Dùng phương pháp đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai bằng đồ thị
Giả sử phương trình ax2 + bx + c = g(m) (1) trong đó a , b , c là những số cho trước với a ≠ 0 , g(m) là biểu thức chứa tham số m .
Bước 1: Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y = ax2 + bx + c (P) và y = g(m) (d). Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (d ) và (P) .
Bước 2: Vẽ parabol y = ax2 + bx + c (P) và đường thẳng y = g(m) (d) trong cùng hệ trục tọa độ. Đường thẳng (d) song song (hoặc trùng) với trục Ox , cắt trục Oy tại điểm có tung độ g(m).
Bước 3: Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị của m , ta xác định được số giao điểm của 2 đồ thị, tức là số nghiệm của phương trình (1).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a) x2− x + 2 − 2m = 0 b) x2 − m2 = 2x-3
c) 3x2− 2x =k d) x2− 3|x| − k + 1 = 0
Bài 2: Cho các phương trình x2 + 3x − m + 1 = 0 (1) và 2x2 − x + 1 − 2p = 0 (2)
a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình đã cho bằng đồ thị.
b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.
Bài 3: Cho phương trình x2− 2x + 3 − m = 0 (1)
a) Biện luận theo m số nghiệm của (1) .
b) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [−1;2] của (1) .
c) Xác định m để (1) có đúng 1 nghiệm lớn hơn 2.
Dạng 4: Dấu của nghiệm số
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho phương trình: (m – 2)x2 + 2(m + 1)x + m – 1 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
b) Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Bài 2: Cho phương trình: 2x2 + 2(2m + 1)x + 2m2 + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có đúng 1 nghiệm dương.
Bài 3: Cho phương trình: mx2 + 2mx – 2 + m = 0
a) Xác định m để phương trình vô nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Dạng 5: Tìm hệ thức độc lập đối với tham số
Cho phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c (1), a ≠ 0
Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 (a ≠ 0, ∆ ≥ 0 ), ta đặt S = x1+ x2, P = x1 x2 và tính S, P theo tham số m.
Khử tham số m giữa 2 hệ thức này ta được hệ thức phải tìm.
Bài tập tự luyện
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm. Khi đó hãy tìm một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m.
a) x2 – (m + 1)x + 2m – 3 = 0 b) x2 – mx + m – 1 = 0
c) x2 – (2m – 3)x + m2 – 4 = 0 d) (m – 1)x2 – (2m + 5)x + m – 3 = 0
Dạng 6: Lập phương trình bậc hai khi biết 2 nghiệm
Cách 1: Dùng định lí Vi-ét đảo.
Cách 2: Dùng (x- x1)(x-x2) = 0
Bài tập tự luyện
a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 thoải mãn x1 + x2 + x1x2 = 0 và m(x1 + x2) – x1x2 = 3m + 4
b) Xét dấu các nghiệm của phương trình đó theo m.
Dạng 7. Không giải phương trình, tính giá trị các hệ thức chứa 2 nghiệm x1, x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0
Bài tập tự luyện
Bài 1: Không giải phương trình x2 – 2x – 15 = 0 hãy tính:
a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó;
b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó;
c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.
Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0. Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a, b và c
Dạng 8: Xác định m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện (*) cho trước
Bài tập tự luyện
Bài tập trắc nghiệm về phương trình bậc 2 một ẩn
Đáp án trắc nghiệm:
Trên đây là chia sẻ về phương trình bậc 2, các dạng bài tập và cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2. Hi vọng qua bài viết này, các bạn sẽ dễ dàng lắm bắt được kiến thức cũng như cách giải phương trình bậc 2 một ẩn
