Cách xét tính đơn điệu của hàm số – Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào

Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn về tính đơn điệu của hàm số, hướng dẫn giải các dạng bài tập liên quan, từ đó giúp bạn dễ dàng xác định được hàm số đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào.

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f  xác định trên K được gọi là

• Đồng biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂,⇒  f(x₁) <  f(x₂)
• Nghịch biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂,⇒  f(x₁) > f(x₂)

Điều kiện cần để hàm số đồng biến, nghịch biến

Giả sử hàm số f  có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số  f  đồng biến trên khoảng I thì  f ‘(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I
• Nếu hàm số  f  nghịch biến trên khoảng I thì  f ‘(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I

Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f  là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I) .Khi đó :

• Nếu f ‘(x) > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f  đồng biến trên khoảng I
• Nếu f ‘(x) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f  nghịch biến trên khoảng I
• Nếu f ‘(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f  không đổi trên khoảng I

Chú ý:

• Nếu hàm số  f  liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f ‘(x) > 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f  đồng biến trên [a; b]
• Nếu hàm số  f  liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f ‘(x) < 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f  nghịch biến trên [a; b]
• Giả sử hàm số  f  liên tục trên đoạn [a; b].

* Nếu hàm số f  đồng biến trên khoảng (a; b) thì nó đồng biến trên đoạn [a; b]

* Nếu hàm số f  nghịch biến trên khoảng (a; b) thì nó nghịch biến trên đoạn [a; b]

* Nếu hàm số f  không đổi trên khoảng (a; b) thì nó không đổi trên đoạn [a; b]

Định lý mở rộng

Giả sử hàm số f  có đạo hàm trên khoảng I.

• Nếu f ‘(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I thì và f ‘(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số  f  đồng biến trên khoảng I
• Nếu f ‘(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I thì và f ‘(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số  f  nghịch biến trên khoảng I

Bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Để xác định sự biến thiên của hàm số (hàm số đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào), chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm tập xác định D của hàm số
• Tính đạo hàm: y‘ = f ‘(x)
• Tìm các giá trị của x thuộc D để f ‘(x) = 0 hoặc f ‘(x) không xác định (ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số).
• Xét dấu y‘ = f ‘(x) trên từng khoảng x thuộc D .
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số

Trên đây là những chia sẻ về cách xét tính đơn điệu của hàm số, kèm những ví dụ có lời giải chi tiết. Hi vọng qua bài viết này, bạn sẽ dễ dàng nắm vững phần kiến thức này!